摆线针轮减速器设计记录：原理与核心参数

摆线针轮减速器设计

在本科刚开始接触三维建模的时候，尤其是高教杯这种建模比赛的时候，最容易出现的就是一类题目：减速器。
那时候更多的是以传统齿轮为主的，比如行星齿轮，蜗轮蜗杆这些。然而在众多减速器中，有一种减速器他不在需要传统复杂的齿形加工，以一种非常巧妙的方式来传递里，他就是摆线针轮减速器，他凭借体积紧凑、传动比大、抗冲击承载能力强这些特点，在高扭矩密度场景里经常出现，比如四足机器人的关节、高精度伺服控制、一些小体积大扭矩执行器。还有一点就是，他不需要繁杂的齿形加工，我觉得他是最适合3D打印材料的减速器了。

这篇先不把所有齿廓细节都展开成完整工程校核，主要梳理摆线针轮减速器到底怎么转起来，以及设计初期必须先定下来的核心参数。

然后实物的话后续做完再更。

后续有时间再更谐波减速器，又是另一种机械仙品

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一、前置原理

一个圆绕三倍于其周长的一根木棒滚动，会转三圈。

把木棒弯成一个圆，然后一个小圆在外面绕着三倍于其周长的大圆滚动，会多转一圈，因为它不仅自己滚，还绕大圆公转了一圈，所以外滚时是四圈。

如果小圆是在大圆内部滚动，则会少一圈，所以是两圈。

这件事本质上就是：当小圆沿着大圆滚一圈时，小圆的自转圈数由大圆和小圆周长的比例决定。换到传动系统里，这就是传动比的来源。

如果把大圆内部和小圆外部都加上齿，就能让小圆在大圆内部纯滚动。把小圆直径做得和大圆差不多大，就可以实现很高的减速比。但问题也跟着来了：齿圈太小、齿太近时，很容易打齿。除非把齿做得非常细，否则加工和强度都不舒服。

ok来到最精彩的部分。

这个时候换一种想法：不再做完整内齿圈，而是让摆线盘绕固定针齿滚动。偏心轴转一圈，相当于带着摆线盘的中心绕一圈；摆线盘借着固定针轮的约束产生反向慢速自转。输出机构再把这个慢速自转取出来。

ok摆线针轮组合登场。

更直白地说：前面小齿轮通过齿圈“攀爬”大圆内齿圈，从而在大圆内部滚一圈。现在的问题是，小齿轮和大齿轮尺寸差不多时，齿太密、太容易干涉。这个组合登场后，相当于求解出这个摆线盘到底该长什么样，才能借着针轮的力在大圆内部“爬一圈”，而且不会和滚针卡死。

针齿数、摆线齿数和传动比

常见摆线针轮减速器里，固定针轮的针齿数比摆线盘齿瓣数多一个：

$$Z_p = Z_c + 1$$

其中：

• $Z_p$：针轮上的针齿数量，也就是滚子数量。
• $Z_c$：摆线盘上的齿瓣数量。

当偏心轴转一圈，摆线盘中心绕固定针轮公转一圈。由于针轮固定，摆线盘会相对机壳反向转过一个齿距。也就是说：

$$\Delta \varphi = -\frac{2\pi}{Z_c}$$

所以输入轴转一圈，输出只转 $1/Z_c$ 圈，方向相反。减速比的大小就是：

$$i = Z_c = Z_p - 1$$

更一般地，如果针齿数和摆线盘齿数差不是 1，而是 $\Delta Z = Z_p - Z_c$，那么减速比可以写成：

$$i = \frac{Z_c}{Z_p - Z_c}$$

实际常用的是差一齿，所以直接看成 $i=Z_c$。比如想做 10:1，通常就是摆线盘 10 个齿瓣，针轮 11 个滚子。

摆线盘构造

摆线盘的理论齿廓，可以从“圆在圆内滚动”得到。

先在小圆上取一个点，让小圆沿着大圆内侧滚动一圈，这个点扫出来的曲线就是内摆线。摆线盘的齿瓣形状，本质上就是围绕这条理论轨迹做出来的。

如果取点正好在滚圆边上，得到的是普通内摆线；如果取点不在滚圆边上，而是往圆心方向收一点，得到的是短幅内摆线。摆线针轮减速器里常用的是短幅摆线，因为普通内摆线的幅度太大，偏心距也大，高速运转时动不平衡会很明显。

这里还有一层实际加工的问题：摆线盘不是直接拿理论曲线当实体边界。实际摆线盘会用一个等效铣刀沿着理论摆线铣一圈。铣刀直径通常按滚针直径来理解，所以实际齿廓是理论摆线的等距曲线，也就是把理论曲线沿法线方向偏移一个滚针半径。

短幅摆线和偏心距

接下来说偏心距。

用滚圆边界上的点画理论齿廓时，齿廓幅度很大。这样做出来的摆线盘偏心距也大，高速运转时动不平衡拉满，而且输出销孔也要跟着开得很大。

短幅摆线的做法是：笔尖不放在滚圆边上，而是往里面收。笔尖到滚圆中心的距离，对应摆线盘设计里的偏心距 $E$。

这里可以先把几个量定义清楚：

• $R$：针轮节圆半径，也就是所有针齿中心所在圆的半径。
• $Z_p$：针齿数量。
• $Z_c$：摆线盘齿瓣数量，通常 $Z_c = Z_p - 1$。
• $r$：滚圆半径。
• $E$：偏心距，也就是输入偏心轴中心到摆线盘几何中心的距离。

因为针齿均匀分布在节圆上，滚圆半径常按下面关系取：

$$r = \frac{R}{Z_p}$$

这样有：

$$\frac{R-r}{r} = Z_p - 1 = Z_c$$

短幅系数可以定义成：

$$\lambda = \frac{E}{r}$$

短幅摆线要求：

$$0 < \lambda < 1$$

也就是：

$$E < r$$

注意这里说的是小于滚圆半径，不是小于滚圆直径。

偏心距 $E$ 会影响很多东西：

• $E$ 越大，摆线盘齿廓起伏越大，理论上输出力臂更明显，但动不平衡、接触冲击、输出销孔尺寸都会变大。
• $E$ 越小，机构更平顺，但齿廓起伏太小会让承载和啮合变差，加工误差的影响也更明显。
• 输出销孔直径和输出销直径之间，至少要留出 $2E$ 的相对运动空间，这个后面单独说。

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二、设计参数

1. 减速比

先定减速比。摆线针轮最常见的设计是滚子比齿瓣多一个：

$$Z_p = Z_c + 1$$

传动比大小：

$$i = Z_c$$

如果目标是 10:1，那么可以选：

$$Z_c = 10,\quad Z_p = 11$$

这也解释了后面为什么两个摆线盘相位差是 18°：因为 10 个齿瓣的一个齿距是 36°，错半个齿距就是 18°。

2. 滚子节圆和滚子间距

滚子不是随便摆的，它们均匀分布在针轮节圆上。

针齿中心之间沿节圆的弧长是：

$$s = \frac{2\pi R}{Z_p}$$

相邻两个针齿中心的直线距离，也就是弦长，是：

$$p = 2R\sin\left(\frac{\pi}{Z_p}\right)$$

我原来写“滚圆周长必须等于两个滚子之间的距离”，这里更准确地说是：滚圆周长对应的是针轮节圆上的一个弧长分段，而不是两个滚子中心的直线距离。也就是：

$$2\pi r = \frac{2\pi R}{Z_p}$$

所以：

$$r = \frac{R}{Z_p}$$

滚子直径 $d_p$ 不能大到相邻滚子互相干涉，所以至少要满足：

$$d_p < p$$

实际还要留安装间隙和加工余量。滚子越大，接触强度越好，但摆线盘齿廓空间越紧，容易干涉；滚子越小，空间好做，但接触应力会变大。

3. 摆线参数方程

设参数角为 $t$。短幅内摆线的理论齿廓可以写成：

$$x(t) = (R-r)\cos t + E\cos\left(\frac{R-r}{r}t\right)$$ $$y(t) = (R-r)\sin t - E\sin\left(\frac{R-r}{r}t\right)$$

由于：

$$\frac{R-r}{r} = Z_c$$

所以也可以写成：

$$x(t) = (R-r)\cos t + E\cos(Z_c t)$$ $$y(t) = (R-r)\sin t - E\sin(Z_c t)$$

其中 $E$ 就是偏心距，也就是短幅摆线里“笔尖到滚圆中心的距离”。

这条曲线还是理论轨迹。实际摆线盘外轮廓要考虑滚针半径。设滚针半径为：

$$\rho = \frac{d_p}{2}$$

理论曲线记为：

$$\mathbf{c}(t)= \begin{bmatrix} x(t)\\ y(t) \end{bmatrix}$$

曲线切向量为：

$$\mathbf{c}'(t)= \begin{bmatrix} x'(t)\\ y'(t) \end{bmatrix}$$

单位法向量可以写成：

$$\mathbf{n}(t)= \frac{1}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}} \begin{bmatrix} -y'(t)\\ x'(t) \end{bmatrix}$$

实际齿廓就是理论曲线沿法向偏移滚针半径：

$$\mathbf{C}(t)=\mathbf{c}(t)\pm \rho \mathbf{n}(t)$$

正负号取决于你在 CAD 里取的是曲线的哪一侧。实际建模时可以不用手搓这个偏移公式，GearTraxPro 或 CAD 的偏移曲线工具会处理，但心里要知道：滚针直径不是装配后才考虑的，它会直接改变实际摆线盘轮廓。

4. 偏心距怎么选

摆线盘偏心距 $E$ 不是随便定的。

先有：

$$E = \lambda r,\quad 0<\lambda<1$$

也就是：

$$E = \lambda \frac{R}{Z_p}$$

初始设计时可以把 $\lambda$ 当成一个调节旋钮。偏心距越大，齿廓起伏越明显，输出销孔需要的空间也越大；偏心距越小，机构更紧凑，但啮合特征不明显，制造误差和间隙会更敏感。

比较实用的判断方式是：

1. 先按目标减速比定 $Z_c$ 和 $Z_p$。
2. 按整体尺寸定针轮节圆半径 $R$。
3. 算滚圆半径 $r=R/Z_p$。
4. 选一个满足 $E<r$ 的偏心距。
5. 检查输出销孔是否还能布置、摆线盘最薄处强度是否够、相邻针齿是否干涉。

这里不要只看公式。偏心距会影响动平衡、输出孔直径、齿廓最小厚度和接触状态，所以最后一定要回到模型里检查。

5. 负载销直径、节圆直径和输出孔

原来这里的问题是：负载销直径和对应节圆直径怎么定？摆线盘上挖的几个孔大小和输出销直径怎么选？

输出销的作用是把摆线盘的低速自转传给输出盘。由于摆线盘中心在绕偏心轴做半径为 $E$ 的公转，输出销和摆线盘孔之间必须允许这部分相对运动。

如果输出销直径为 $d_o$，摆线盘上的输出销孔直径为 $D_h$，那么最基本的几何间隙关系是：

$$D_h \ge d_o + 2E$$

实际还要加装配和润滑间隙，记作 $c$，通常写成：

$$D_h = d_o + 2E + 2c$$

这里的 $2E$ 很关键。因为输出销中心相对摆线盘孔中心会绕一圈，半径就是偏心距 $E$。孔如果只比销大一点点，机构会直接卡死。

输出销数量一般取多个，比如 6 个、8 个，均匀分布在输出销节圆上。输出销节圆半径记为 $R_o$。这个 $R_o$ 主要受两个东西限制：

• 太小：输出力臂小，同样扭矩下销受力大。
• 太大：容易和摆线齿廓、针轮、轴承结构干涉，摆线盘剩余壁厚也会变薄。

粗略看，单个输出销平均受力可以按下面估算：

$$F_o \approx \frac{T_{\text{out}}}{n_o R_o}$$

其中：

• $T_{\text{out}}$：输出扭矩。
• $n_o$：参与传力的输出销数量。
• $R_o$：输出销节圆半径。

这只是初步估算，真实接触载荷不会完全平均分配。建模阶段先用它判断尺寸级别，后面如果真要上金属加工，还得做接触强度、销轴剪切和孔壁挤压校核。

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三、落地

根据前面的摆线针轮减速器原理和设计公式，基本就可以开始建模了。详细尺寸可以参考机械设计原理的书，把具体轮廓参数算出来，再对着图纸一点一点建模。

遥想本科时候的减速箱课程设计，对着设计手册一点一点扣，扣了三天才把减速箱做完。

但是…..人生苦短，叽里呱啦说得啥呀，干活的时候该上科技就上科技：

GearTraxPro直接上。

搞定。

这里注意，第一片摆线盘和第二片摆线盘不是单纯复制。它们之间有相位差。

如果减速比是 10，也就是摆线盘齿瓣数：

$$Z_c = 10$$

一个齿距对应：

$$\frac{360^\circ}{Z_c} = 36^\circ$$

双摆线盘常用错半个齿距来分担载荷、降低振动，所以相位差是：

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{360^\circ}{Z_c} = \frac{180^\circ}{Z_c}$$

带入 $Z_c=10$：

$$\frac{180^\circ}{10}=18^\circ$$

这就是这里为什么相差 18°。如果不做这个相位错开，输出轴同时穿过前后两个摆线盘时，孔位和齿形很容易对不上，转动时会干涉。

也就是图中圈出来的地方，输出轴要同时穿过前后两个摆线盘。只有错位半个摆线齿，转动的时候才不容易干涉。

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四、建模成品

这版适配 42 步进电机。最终成品建模如图，整体做得不是很大。材料的话，后面先用 3D 打印来验证结构和装配，确认没问题了再考虑发模型或者改金属件。

最后分享两个链接。

一个是讲得非常好的课程，国外搬运加翻译：

https://www.bilibili.com/video/BV12xLp6mEbC/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=bd2d33c5ea8397cbf1373658ab6e6f29

还有某位老哥的工具分享 GearTraxPro：

https://wwavj.lanzouw.com/i6yK72aypvwf

密码：89kc

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更新记录：另一个小项目预告

ok，更新一下，预告另一个小项目。